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随手解一道数学题 #F2910

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发表于 2020-9-13 08:00:23 | 显示全部楼层 |阅读模式

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随手解一道数学题 #F2910


一)失眠

俗话说,失眠和闹钟,是黑眼圈的二大敌人。
脑子里线程太多,我也饱受“失眠”的痛苦。


今天临睡觉前,朋友圈里看到一道数学题目。失眠时翻来覆去,于是决定用“心算”把它解出来。
题目很简单,感觉就小学五年级奥数的水平。亲,你们能算出么。

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已知正整数n的立方的末四位数是3333,

则n的最小可能值是多少。




二)数学题

题目非常简单。

很多硕士,博士,可能会以为,这会要用“数论”等高级数学技巧来解答。
但奥数是有套路的。

大城市,经过奥数培训的学生,非常容易得一等奖,二等奖
和赤手空拳的小镇做题家,完全不在一个竞争平面上。

奥数一共就二十几种套路。学会了套路,玄门弟子,一年抵铁砂派十年功力。

例如这题,懂行的青年,立刻可以从“猜尾数”套路去想。

123456789,哪一个数字的三次方,尾数是3

很显然,答案是7。
也就是X^3=3333,则X的尾数,必然是7.


知道了最后一位,我们可以接着求倒数第二位。是17呢,还是27.
如果用计算器的话,马上就有下表:
77 456533

显然,末二位是33的解,对应的是77.
我们要找的数字,一定是177,277,377………之类的。


但是,我们现在不能用计算器。本关默认的难度,是“躺在床上”,失眠+纯心算。
因此我们需要更扎实的数学功底。


几乎每一个中国学生,都背过三次方公式:(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
如果我们只需要求“十”位数,
百分位以上,全部舍弃
这个算式,就非常简单。


例如,我们假设倒数第二位是x,n=10x+7
n³=1000x³+300x²*7+30x*49+7³

其中,第一,第二项,都比百分位大,因此可以直接舍弃。
n³的十位数=30x*49+7³的十位数


进一步,我们观察49,49=40+9.
40*30x,就大于100了。因此这里的40,也可以全部舍弃。
n³=30x*9+7³

继续,30x*9=270x,其中的200又可以舍弃。
n³=70x+7³

二边各除以10,n³=7x+4
7x+4
7 53

7x+4这个,简化得多的算符中,我们很快可以得出,第二位数字,也是7。
尾号是77.


现在我们来求倒数第三位数字。
477 108531333

如果手边有计算器的话,电脑立刻可以算出,立方后333的,对应是477.
但是今天,限定条件为“心算”。

还是一样,拆成(a+b)³
假设n=100x+77

n³=1000000x³+30000x²*77+300x*77²+77³
前二项都可以舍弃,只需要保留300x*77²+77³

此时,77=70+7,大于10的都可以舍弃,因此77²=7²=49=9
n=2700x+77³=700x+456533

都去除二个零,n=7x+5
7x+5
7 54

答案:倒数第三位是4,合计477尾号。


现在我们来求,倒数第四位。首先看计算器:

如果用计算器,可以看到,答案应该是6477,立方后尾四位3333.
但现在是“心算”,略麻烦点。


算法还是一样的。假设n=1000x+477
立方后,前二项舍弃。剩下3000x*477²+477³

477平方,舍弃所有大于10的部分,答案固定为9
3000x=27000x=7000x

答案还是恢复到:7x+y的样式。


477=108531333,心算的话,要导出它的“千分位”是1,公式最终为7x+1,这个就有一点麻烦。

上亿的乘法,还是很烦的。恨不得喝杯咖啡提提神。

我们再用一下取巧的办法。477=500-23.
我们看一下,(a-b)³的千分位,能不能快捷一点。

477³=a³-3a²b+3ab²-b³
前二项舍弃,剩下3*500*23²-23³

=1500*529-12167
万分位舍弃,=13500-12167

结论是1333,因此公式是7x+1
7x+1
6 43




综上所述,立方后末四位3333,对应的尾数,是6477。

符合条件的“最小一个数字”,就是6477³
第二个解是16477³
第三个解是26477³
………


6477³= 271720053333
2717亿,好大一个天文数字。



三)推论

在这道题中,我们敏锐地发现,其核心公式是:7x+y

y是常数,或者77³,或者477³,它是不变的

因为7是一个畸零数字,7x可以遍历1~9,

也就是说,如果出题老师,不是用3333来考试,而是用3343,或者5873。
这一类的“起始数据”,也都是有解的。


而什么时候,不适用7这个“畸零”数字呢。
3ab²=3*49=27=7,关键看3b²

我们列一下,1~9的遍历。
3b²
1 1 3 1

3 9 7 27
7 49 7343
9 81 3 729


如表,只有1,3,7,9的3b²,对应的才是“畸零”数。

7x的尾号,可以把1~9全部都经历一遍。
8x就不行。
诸如0010,0014这样的题目,它是没有解的。


出题老师,出一道题,3333.
只要“最后一位”,是1,3,7,9四选一,这题就有解。无论前面多少位,都是有解。
否则,就是无解的。


这一大类的题目,全部解开。


四)结语

非常简单的小学数字,心算难度,失眠治疗。您学会了么。



yevon_ou@163.com,2020年8月9日晚)



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